Os Amazon Elastic IPs são encaminhados para o IP privado escolhido e, na maioria das vezes, o servidor não sabe qual é o endereço IP público. Está disponível nos metadados se você realmente precisar.
Você deve vincular o IIS ao endereço IP privado.
Supondo que você tenha o Elastic IP 1.1.1.1 ligado a 10.0.0.10, você deve configurar no IIS o 10.0.0.10 (ou apenas ligar para todos os endereços).