A maneira como você está escapando da palavra here-doc está evitando a substituição de variáveis. Contraste
cat <<\END
$PATH
$LOGNAME
END
versus
cat <<END
$PATH
$LOGNAME
END
atualização
Em uma inspeção mais detalhada, vejo que você está definindo uma variável no heredoc. Isso deve não ser expandido na máquina local, então você precisa escapar daqueles no comando mysqldump. Tente isto:
ssh "$serveruser"@"$serverip" <<EOF
mkdir -p "$serverpath/mysqldumps/"
cd "$serverpath/mysqldumps/"
domainname=somedomain.com
mysqldump -h 192.168.1.4 -udba -ppassword -c --add-drop-table --add-locks --create-options --databases --quick --lock-tables \$domainname > \$domainname.sql
EOF