Sim, é possível. Se o primeiro servidor for o Apache, você pode usá-lo como um proxy reverso usando mod_proxy para fazer isso.
ProxyPass /abc http://second-web-server.yourdomain.com/def
ProxyPassReverse /abc http://second-web-server.yourdomain.com/def
Se o seu requisito de proxy é mais complexo, você também pode dizer ao mod_rewrite para enviar a parte de substituição da regra de reescrita para mod_proxy com o sinalizador "P":
RewriteRule ^/abc$ http://second-web-server.yourdomain.com/def [P]
Aparece (não estou familiarizado com a litespeed) que o mecanismo de regravação litespeed é idêntico ao Apache:
Então, para testar a ausência de um cookie, você usaria uma regra de reconfiguração da seguinte forma:
RewriteCond %{HTTP_COOKIE} !^Your_Cookie_Name$
RewriteRule ^/(.*) http://second-web-server.yourdomain.com/$1 [p]
Há um exemplo de reescrita da litespeed + proxy aqui: