Se funcionar em seu laptop, aparentemente você autorizou o IP em que seu laptop aparece na Internet para se conectar ao RDS. Procure whatismyip.com para ver esse IP público. Se você navegar até o whatismyip a partir do seu servidor dedicado, poderá verificar o IP público desse servidor e certificar-se de que ele esteja autorizado na AWS. Se for apenas um IP, insira-o como x.x.x.x / 32.
Se você usar a porta tcp 3306 para MySQL, em um prompt shell / cmd no servidor dedicado, digite
telnet db.address.us-east-1.rds.amazonaws.com 3306
Se a conexão expirar em vez de abrir uma nova janela, e você confirmar que o IP público do seu servidor dedicado é autorizado , então algo em seu servidor ou na rede do provedor de hospedagem provavelmente está bloqueando sua conexão. O suporte deve ser capaz de ajudar a encontrar e consertar isso.