Você esteve muito próximo de sua configuração de / etc / network / interfaces.
Deveria ter sido algo assim:
iface eth0 inet static
address 192.168.1.3
network 192.168.1.0
netmask 255.255.255.0
broadcast 192.168.1.255
gateway 192.168.1.1
dns-nameservers 8.8.8.8 8.8.4.4
A sintaxe nameservers <ip>
é se você for a rota resolvconf.
(Veja link para os detalhes sobre essa rota.) Parece que você conseguiu a maior parte do seu próprio embora e está funcionando.