Solução encontrada:
Por algum motivo, descobrimos que não havia regras de NAT configuradas para a ACL da VPN. Eu adicionei o seguinte à configuração:
nat (inside,outside) 1 source static SPLIT-ACL-VPN SPLIT-ACL-VPN destination static
NETWORK_OBJ_192.168.10.0_24 NETWORK_OBJ_192.168.10.0_24 no-proxy-arp route-lookup
Agora podemos acessar os recursos da rede conforme o esperado.