Específico para os contêineres, há o sinalizador --restart para o comando run : link .
Em distribuições Linux mais modernas (como CoreOS e Ubuntu) você obtém o systemd e o Upstart gerenciando os daemons.
Por exemplo, no Ubuntu, a configuração Upstart padrão do Docker tem a sub-rotina respawn ( link ) ativada por padrão.
No systemd land, o CoreOS tem algo assim para iniciar o daemon do Docker: link . Você pode personalizar ( link ) as unidades do systemd que são usadas e usar a opção Restart= ( link ) para obter uma funcionalidade semelhante.
No entanto, essas duas opções não fazem nenhum alerta ou mensagem nativa. No entanto, você provavelmente poderia configurar algum tipo de unidade "mailer" que executa OnFailure= da unidade systemd do Docker. Mas eu chamaria isso fora do escopo do Docker e dos sistemas init.