Geralmente, você precisa indicar no servidor de email de recebimento que o servidor de email de envio é confiável (ou na lista de permissões), e é por isso que não há senha.
Você precisa verificar se o Mailgun permite que você especifique os servidores de e-mail do Google como confiáveis para seu e-mail.
Se não, você poderia ter o catch-all encaminhar o e-mail para uma conta não utilizada, que então usa um filtro para encaminhar para um endereço de e-mail no servidor Mailgun. Não é bonito e está sujeito a enviar limites, mas pode atingir seu objetivo.