Consegui encontrar a resposta aqui: link
Basicamente, você precisa adicionar um quinto cabeçalho à sua chamada PHP mail () com o seguinte: "-f [from_email_address]"
E também adicione uma nova variável à sua configuração do exim: trusted_users = [lista separada por dois pontos de IDs de usuário que podem modificar o envio de endereços]
Fazer esses dois funcionou. :)