Não consigo fazer o php7 funcionar no apache2

Question

essa questão também existe do SFO, mas me pediram para perguntar aqui, já que é mais um problema de configuração do servidor.

Eu tenho um grande problema.

Meu apache2 não processa o código php7, mas mostra os códigos diretamente no navegador (chrome) ou na página em branco (firefox)

Muitos tiveram um problema semelhante, mas aparentemente conseguiram resolvê-lo.
( Tela Branca - PHP 7 no Ubuntu 16.04 falha ao renderizar scripts )

Eu segui muitos tópicos sobre como fazê-lo funcionar sem sucesso.

Além disso, forcei meu site a trabalhar apenas em https, se isso pudesse ser um problema.

Informação:
Lançamento do Ubuntu: Ubuntu 16.04.3 LTS

Apache:
apache2 -v
Versão do servidor: Apache / 2.4.18 (Ubuntu)
Servidor construído: 2017-07-27T14: 34: 01

Php:

$ php -v
PHP 7.0.22-0ubuntu0.16.04.1 (cli) ( NTS )
Copyright (c) 1997-2017 The PHP Group
Zend Engine v3.0.0, Copyright (c) 1998-2017 Zend Technologies
    with Zend OPcache v7.0.22-0ubuntu0.16.04.1, Copyright (c) 1999-2017, by Zend Technologies

$ ps -A|grep php
7799 ?        00:00:52 php-fpm7.0

Mods do Apache:

$ ls -lart /etc/apache2/mods-enabled/  
php7.0.load -> ../mods-available/php7.0.load
php7.0.conf -> ../mods-available/php7.0.conf

$ dpkg --list|grep libapache2  
ii  libapache2-mod-php                 1:7.0+35ubuntu6                            all          server-side, HTML-embedded scripting language (Apache 2 module) (default)  
ii  libapache2-mod-php7.0              7.0.22-0ubuntu0.16.04.1                    amd64        server-side, HTML-embedded scripting language (Apache 2 module)  
ii  libapache2-mod-python              3.3.1-11ubuntu2                            amd64        Python-embedding module for Apache 2

módulo php:

$ sudo a2enmod php7.0
Considering conflict php5 for php7.0:
Module php7.0 already enabled

Extrair do meu conf Apache (/ etc / apache2 / sites-available):

<VirtualHost *:443>
  ServerName ############
  ServerAlias ############
  DocumentRoot /var/www/html/public

  ErrorLog /var/www/html/logs/eu_error_log
  CustomLog /var/www/html/logs/eu_access_log combined

  ScriptAlias /cgi-bin/ /var/www/html/cgi-bin/
  DirectoryIndex index.html index.htm index.php7

  <Directory /var/www/html/public>
    Options -Indexes +IncludesNOEXEC +SymLinksIfOwnerMatch +ExecCGI
    allow from all
    AllowOverride All Options=ExecCGI,Includes,IncludesNOEXEC,Indexes,MultiViews,SymLinksIfOwnerMatch
    Require all granted
    AddType application/x-httpd-php .php7
    AddType application/x-httpd-php-source .phps
    AddType application/json .json
  </Directory>

  <Directory /var/www/html/cgi-bin>
    allow from all
    AllowOverride All Options=ExecCGI,Includes,IncludesNOEXEC,Indexes,MultiViews,SymLinksIfOwnerMatch
    Require all granted
  </Directory>

  <Directory /usr/lib/cgi-bin>
    Require all granted
  </Directory>
  <IfModule mod_fastcgi.c>
    AddHandler php7-fcgi .php7
    Action php7-fcgi /php7-fcgi
    Alias /php7-fcgi /usr/lib/cgi-bin/php7-fcgi
    FastCgiExternalServer /usr/lib/cgi-bin/php7-fcgi -socket /var/run/php/php7.0-fpm.sock -pass-header Authorization
  </IfModule>

#  RemoveHandler .php
#  RemoveHandler .php7
  php_admin_value engine On
#  IPCCommTimeout 301
#  FcgidMaxRequestLen 1073741824
  php_value memory_limit 128M
  php_value suhosin.session.encrypt Off

  SSLEngine on
  SSLCertificateFile ############
  SSLCertificateKeyFile ############
#  SSLCACertificateFile ############
  SSLCipherSuite ECDHE-RSA-AES128-GCM-SHA256:ECDHE-ECDSA-AES128-GCM-SHA256:ECDHE-RSA-AES256-GCM-SHA384:ECDHE-ECDSA-AES256-GCM-SHA384:DHE-RSA-AES128-GCM-SHA256:DHE-DSS-AES128-GCM-SHA256:kEDH+AESGCM:ECDHE-RSA-AES128-SHA256:ECDHE-ECDSA-AES128-SHA256:ECDHE-RSA-AES128-SHA:ECDHE-ECDSA-AES128-SHA:ECDHE-RSA-AES256-SHA384:ECDHE-ECDSA-AES256-SHA384:ECDHE-RSA-AES256-SHA:ECDHE-ECDSA-AES256-SHA:DHE-RSA-AES128-SHA256:DHE-RSA-AES128-SHA:DHE-DSS-AES128-SHA256:DHE-RSA-AES256-SHA256:DHE-DSS-AES256-SHA:DHE-RSA-AES256-SHA:ECDHE-RSA-DES-CBC3-SHA:ECDHE-ECDSA-DES-CBC3-SHA:EDH-RSA-DES-CBC3-SHA:AES128-GCM-SHA256:AES256-GCM-SHA384:AES128-SHA256:AES256-SHA256:AES128-SHA:AES256-SHA:AES:CAMELLIA:DES-CBC3-SHA:!aNULL:!eNULL:!EXPORT:!DES:!RC4:!MD5:!PSK:!aECDH:!EDH-DSS-DES-CBC3-SHA:!KRB5-DES-CBC3-SHA
  SSLProtocol All -SSLv2 -SSLv3
  SSLCompression off
  SSLHonorCipherOrder On

</VirtualHost>

E minha pasta www:

$ ls -lart /var/www/html/public/*
-rw-r--r-- 1 root root    27 sep 10 15:35 .htaccess
-rw-r--r-- 1 root root    29 sep 10 15:46 index.php7

Conteúdo:

$ sudo cat /var/www/html/public/.htaccess
DirectoryIndex index.php7

$ sudo cat /var/www/html/public/index.php7:
<?php
echo "Hello World";
?>

Um index.html normal produz um resultado adequado.
Qualquer ideia sobre o que mais verificar?