Um dos outros programadores fez uma alteração no arquivo ssl.conf do apache que parece ter corrigido o problema.
# SSL Cipher Suite:
# List the ciphers that the client is permitted to negotiate.
# See the mod_ssl documentation for a complete list.
#SSLCipherSuite ALL:!ADH:!EXPORT:!SSLv2:RC4+RSA:+HIGH:+MEDIUM:+LOW
#SSLCipherSuite -ALL:AES128-SHA
SSLCipherSuite ALL:!ADH:RC4+RSA:+HIGH:+MEDIUM:!LOW:!SSLv2:!EXPORT
A linha SSLCipherSuite -ALL:AES128-SHA
foi comentada em favor da linha SSLCipherSuite ALL:!ADH:RC4+RSA:+HIGH:+MEDIUM:!LOW:!SSLv2:!EXPORT
.
Parece que havia uma codificação específica que o IE queria, mas a configuração do Apache não estava configurada para uso.