Isso vale para todos os aplicativos da Web, mas basicamente, usando o mesmo nome de domínio básico deve permitir que você compartilhe o cookie relacionado aos sites, a menos que haja um "caminho de cookie" definido seu caso para / 2011 ou / 2012). Os caminhos de cookies provavelmente serão definidos
Você diz que tem uma instalação do moodle, então eu suponho que você tem apenas uma instalação e você está acessando através de 2 hosts virtuais diferentes que apontam para o mesmo diretório no disco, certo?
Eu tenho lido o código do Moodle e a única referência que encontrei para os caminhos dos cookies está em /lib/cookies.js. Talvez isso lance você na direção certa. Em qualquer caso, uma vez que você se livrar da parte do caminho, e dado que você está no mesmo domínio, você será capaz de se conectar a um ou outro livremente, uma vez que você tenha logado em um deles.