Encontrou o problema. Não foram as regras de reescrita, embora Michael Hampton definitivamente me colocou na direção certa.
Por alguma razão, o arquivo wp-config.php tinha duas linhas muito importantes para a configuração do Multisite comentadas: PATH_CURRENT_SITE e BLOG_ID_CURRENT_SITE.
Assim que consertei isso, tudo começou a funcionar perfeitamente, e nosso site agora está brilhando rápido. Eu acho que a verdadeira questão é: como o trabalho fez isso todo esse tempo?
É isso aqui. Obrigado por assistir!