Isso acabou não sendo um problema no servidor. Havia um caminho de código específico que exigia muito da CPU (era a operação O (n ^ 2) no pior dos casos). Eu localizei o problema entrando em contato com um determinado usuário beta que estava com o problema e copiando seus dados para o meu servidor de teste e testando-o. Eu consegui reproduzi-lo e corrigi-lo de lá.
Eu ainda gostaria de saber por que a requisição do Apache continuaria a processar a requisição quando o usuário tivesse parado o seu lado da conexão.