Existem ferramentas que devem ser um Sistema de Gerenciamento de Log Central para Linux, que não exigem que sejam copiadas. Pelo menos, não no sentido que você está falando, você pode apenas configurar montagens NFS ou instalar clientes nas máquinas.
Um aplicativo fácil com uma interface da web bacana é o Splunk , ele é gratuito para até 500MB por dia de indexação sem autenticação para a Web interface.
O método clássico mais manual é o syslog-ng , que pode estar no seu sistema. Aqui está um tutorial sobre como configurar um servidor de log central com isso.