Seguindo o guia do Cyberciti para bash arithmetic você não está usando o método correto. Para fazer operações aritméticas, este é o formato:
$ ((expression))
Então, no seu caso, essa seria a atribuição de variável correta:
export end_day=$(( $start_day+(((($start_day*24)+84)/24)-((($start_day*24)+84)%24)) ))
export end_hour=$(( ($start_day*24+84)%24 ))
NOTA: isso precisa ser testado, não tenho certeza se os resultados estão corretos.