Os cabeçalhos de solicitação são variáveis atribuídas a partir de $ http_, portanto, um cabeçalho de solicitação de Client-Id seria armazenado em $ http_client_id. tente
fastcgi_param CLIENT_ID $http_client_id;
Tenho certeza de que o nginx já passa todos os cabeçalhos http, portanto ele já pode estar disponível como $ _SERVER ['HTTP_CLIENT_ID']