Pelo menos o seu roteiro é simples e direto.
Uma maneira de verificar se o rsync foi ok é comparar os md5sums.
LOCALCOPY='md5sum /home/user/db_backups/$backupFile'
REMOTECOPY='ssh user@remoteserver md5sum /home/user/backup/mysql/$backupfile'
if [ $LOCALCOPY == $REMOTECOPY ]; then echo "Checksum OK"; else echo "Checksum ERROR. Eep."; fi
Ou algo assim, na verdade, não testamos isso.