O SSH permite que você especifique um comando a ser executado no host remoto no lugar de um shell de login. Portanto, você pode escrever um comando SSH que encadeie duas instâncias, da seguinte forma:
ssh [email protected] -t -t ssh [email protected]
Claro, você pode deixar de usar nomes de usuário se eles forem iguais.
Obviamente, este é um incômodo para digitar, então você pode definir um alias bash colocando a seguinte linha no seu arquivo ~/.bash_profile (você precisará criá-lo se ele ainda não existir):
alias school_ssh='ssh [email protected] -t -t ssh [email protected]'
Eu não acho que você pode especificar uma senha. No entanto, se você puder, poderá gerar um par de chaves SSH. No seu computador local, insira a chave privada e coloque a chave pública na rede da escola pública. Em seguida, ssh na rede pública e gerar um segundo par de chaves. Deixe a segunda chave privada na rede pública e coloque a segunda chave pública na rede privada.
As chaves SSH solicitarão uma frase secreta. Você pode especificar none, simplesmente não digitando nada no prompt de geração e pressionando enter, mas eu recomendaria contra isso. Isso ocorre porque senhas SSH são menos dolorosas do que apenas uma senha regular: quando um programa rodando em um xterm pede para usar uma chave SSH, o Ubuntu irá abrir uma caixa de senha gráfica ao invés de perguntar no terminal. Você tem a opção de manter a chave SSH desbloqueada para o restante da sessão. Você também pode configurar o Ubuntu para desbloquear automaticamente a chave no login.