Não, você não precisa derrubar o site para fazer um backup do MySQL. Você não só pode usar o mysqldump em um banco de dados MySQL em execução, mas na verdade o servidor deve estar rodando para que o mysqldump possa se conectar a ele. O fato de você estar usando tabelas InnoDB é uma vantagem, já que qualquer bloqueio será breve e é altamente improvável que seus usuários estejam cientes deles.
Se você está nervoso ou hesitante em executar o backup, não é difícil executar outra instância do MySQL e configurar a replicação mestre / escravo, executando os backups no escravo. Dessa forma, você pode ter certeza de que o site não será afetado pelos backups.