Uma desvantagem é que sua chave privada pode agora estar em duas máquinas.
Uma chave de cliente deve ser privada, por definição. Se é compartilhado, então não é privado.
Isso reduz instantaneamente a confiança que qualquer pessoa pode ter em seu certificado. Todos os outros usuários desse servidor (se houver algum) não podem confiar nele, já que sua chave privada é compartilhada.
Sua pergunta não indica se você está usando sua própria autoridade de certificação ou uma autoridade de certificação comercial. Se for comercial, talvez você quebre os termos da CA & condições compartilhando a chave privada.
Melhor seria simplesmente criar outro certificado para o seu cliente. Se você estiver executando sua própria CA, basta criar outro certificado. Se for comercial, compre um novo certificado para o seu cliente ou obtenha um livre . De qualquer forma, se o seu certificado tiver um campo Extended Key Usage, verifique se ele contém 'Autenticação do cliente' (em vez de 'Autenticação do servidor').
Conforme você esclareceu, sua configuração é uma máquina que atua como um cliente e um servidor. Nessa situação, você precisa estar ciente da pequena diferença nos perfis de certificado para autenticação do servidor e autenticação do cliente:
Um certificado de servidor terá o nome DNS do servidor como CommonName (CN) ou Subject Alternate Name (SAN), ou ambos. Um certificado de cliente geralmente tem seu endereço de e-mail como CN, embora não exista motivo para que ele não possa ser outra coisa.
A extensão Extended Key Usage para um certificado de servidor deve ser server authentication , enquanto que para um certificado de cliente deve ser client authentication . Isso pode causar problemas.