Aqui está como eu fiz isso com o tomcat6 instalado ...
Primeiro parei o tomcat de rodar
/etc/init.d/tomcat6 stop
Alterado o seguinte em
/etc/default/tomcat6
Para ser o seguinte
# Run Tomcat as this user ID. Not setting this or leaving it blank will use the
# default of tomcat6.
TOMCAT6_USER=www-data
# Run Tomcat as this group ID. Not setting this or leaving it blank will use
# the default of tomcat6.
TOMCAT6_GROUP=www-data
Então eu tive que mudar a propriedade do diretório de log
chown -R www-data: /var/log/tomcat6
chown -R www-data: /usr/lib/tomcat6
chown -R www-data: /etc/tomcat6
Então eu pude rodar o tomcat6
/etc/init.d/tomcat6 start
Veja os resultados
# ps aux | grep tomcat
www-data 26436 11.3 0.7 559552 58464 ? Sl 05:34 0:01 /usr/lib/jvm/java-6-openjdk/bin/java -Djava.util.logging.config.file=/var/lib/tomcat6/conf/logging.properties -Djava.awt.headless=true -Xmx128M -XX:+UseConcMarkSweepGC -Djava.util.logging.manager=org.apache.juli.ClassLoaderLogManager -Djava.endorsed.dirs=/usr/share/tomcat6/endorsed -classpath /usr/share/tomcat6/bin/bootstrap.jar -Dcatalina.base=/var/lib/tomcat6 -Dcatalina.home=/usr/share/tomcat6 -Djava.io.tmpdir=/tmp/tomcat6-tmp org.apache.catalina.startup.Bootstrap start