Se você tiver acesso ssh, pode tentar algo como abaixo. Observe que não há verificação de erros, por exemplo, se arquivos remotos não existirem, isso falhará.
REMOTE_TIME_1=$(ssh user@remote "ls -l --time-style=+%s remote_file | cut -d ' ' -f 6")
REMOTE_TIME_2=$(ssh user@remote "ls -l --time-style=+%s remote_file | cut -d ' ' -f 6")
if (( REMOTE_TIME_1 > REMOTE_TIME_2 ));
then
echo first file is older
else
echo second file is older
fi
Observe que, se você não quiser digitar a senha toda vez, poderá usar o comando ssh-copy-id para copiar sua chave pública para os arquivos authorized_keys do servidor remoto.