A configuração padrão do EXIM não permite a retransmissão.
# Insist that any other recipient address that we accept is either in one of
# our local domains, or is in a domain for which we explicitly allow
# relaying. Any other domain is rejected as being unacceptable for relaying.
require message = relay not permitted
domains = +local_domains : +relay_to_domains
Se você remover o argumento acima (linha 455 no meu /etc/exim/exim.conf), então a retransmissão aberta será permitida através do EXIM, o que é ruim. No entanto, você pode dar um tiro para fins de teste. Entenda primeiro que NINGUÉM será capaz de retransmitir e-mails através de seu MTA nesse ponto - eventualmente, o SPAM será disseminado de seu servidor, seu domínio terminará em listas negras, etc., se você não restaurá-lo em breve.
Para que o EXIM funcione como um servidor de retransmissão moderno, você deve ler o tópico sobre autenticação. A configuração padrão do EXIM permitirá a retransmissão para clientes de email autenticados. Este é o livro oficial: link
Você tem ou pretende usar o LDAP para armazenar nomes de usuário e senhas - no que se refere à autenticação de seus usuários de email?
Aqui está também um bom artigo. Ele deve fornecer uma ideia holística do que é necessário para configurar um servidor de e-mail baseado em EXIM MTA - com o LDAP devo adicionar. O howto é específico do Debian: link