Como você pode adicionar um Elastic IP à sua instância do EC2, presumo que esteja em uma sub-rede pública. Na sua configuração, você não pode acessar a Internet (o ponto de extremidade do SES em outra região) da sua instância do EC2. No entanto, seu balanceador de carga (na mesma sub-rede pública) pode acessar sua instância do EC2, e é por isso que seu site está funcionando.
A solução mais fácil seria colocar sua instância do EC2 em sua sub-rede privada (por exemplo, aquela em que seu banco de dados está). Então você pode rotear através do seu NAT Gateway para a internet, e deve ser capaz de enviar e-mails via SES muito bem.
Uma solução alternativa seria atribuir um IP público à instância. Não precisa ser um IP elástico.