Não há motivo para não enviar um certificado de um site para o novo host do site.
No entanto ... se o certificado atual for um certificado curinga ou contiver um grande número de SANs, provavelmente gerarei um novo certificado apenas com os endereços de site necessários para minimizar possíveis problemas com um ator mal-intencionado que obtém acesso aos seus sites de spoofing de sistemas em seu domínio. (Eu sei que isso provavelmente não se aplica em seu caso específico aqui, mas vale a pena verificar apenas no caso, e eu estou principalmente incluindo essa parte como um conselho genérico para pessoas que estão olhando no futuro.)
Como uma questão de práticas recomendadas, na sua posição, enviaria todos os detalhes ao cliente, e não à nova empresa de hospedagem, e também garantiria que o certificado e a chave privada fossem criptografados durante o trânsito.