Não estou familiarizado com o Route53, se ele tiver um endereço IP público ou privado, você só precisará configurar a VNet do Azure para usá-lo como serviço DNS. Se tiver um endereço IP privado, verifique se as VMs no Azure podem alcançá-lo por meio de sua VPN S2S.
Se não expor seu 'endereço IP, você só precisa criar seu próprio servidor DNS. Windows Server ou Linux BIND, existem várias soluções para alcançar seu objetivo.
Para adicionar as configurações de DNS personalizadas, consulte a captura de tela abaixo:
Observação: precisamos reinicializar a VM para que eles recebam as novas configurações de DNS.