Consegui resolver esse problema alterando a maneira como faço logout do terminal do SSH.
Em vez de clicar no botão X
para fechar a janela do PuTTY, eu digito exit
no terminal do SSH para efetuar o logout. Agora, o processo pode continuar sendo executado em segundo plano após o logout.
Se eu clicar no botão X
para fechar a janela, o processo em segundo plano será encerrado imediatamente.