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Se você desconfiar do aplicativo, é possível definir um log lento para registrar cada solicitação que dura mais de N segundos (no fpm), adicionando a configuração do pool do fpm (o local padrão tende a ser (debian): / etc /php5/fpm/pool.d/www.conf)
slowlog = /path/to/slow.log
request_slowlog_timeout = Ns
altere o N com a quantidade de segundos que você deseja, diminua o tempo máximo de execução (assim ele será registrado antes de ser esgotado)
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Veja a quantidade de crianças, max_requests e servidores em execução com o fpm. Se ocorrer um problema de vez em quando, talvez você esteja atingindo o limite e não haja mais conexões disponíveis para o nginx.
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Dê uma olhada nos valores de tempo limite do nginx, talvez o tempo limite do fpm seja maior e o nginx esteja desistindo antes de obter a resposta.
Eu acho que essas dicas podem ser úteis, mas eu não acho que estou cobrindo todos os pontos possíveis para checar, mas esses são um bom começo, embora