Eu finalmente resolvi isso na semana passada.
Existe um arquivo de configuração que é parte do nosso aplicativo da Web que precisa de permissões de leitura / gravação para o IIS. Na nossa conta de hospedagem compartilhada no GoDaddy, as permissões foram removidas por algum motivo desconhecido. E quando carregamos o aplicativo no servidor de teste, basicamente esqueci que precisávamos redefinir essas permissões no novo servidor. Em nosso servidor de desenvolvimento interno, as permissões foram configuradas no início do projeto.
No servidor de teste que criamos na Rackspace, eu adicionei "Full Control" para o "IIS_IUSRS" ao diretório pai onde o arquivo reside. Na conta de hospedagem compartilhada do GoDaddy, entrei no Gerenciador de arquivos e defini as permissões para leitura / gravação na Web no diretório.
O problema de codificação é que, como o arquivo está sendo acessado por uma biblioteca usada pelo aplicativo da Web, o erro não estava sendo manipulado adequadamente. Se ocorrerem muitos erros consecutivos, o IIS poderá entrar nesse estado de carga contínua sob certas condições.
Eu limpei o site para bare-bones e comecei a adicionar dependências de volta uma de cada vez. Então, quando o erro ocorreu, não foi tão profundo no sistema, então comecei a obter registros de eventos úteis. É como se o problema fosse tão profundo que criasse um aplicativo totalmente instável e até mesmo os erros não estivessem sendo relatados corretamente.