Na sua primeira configuração (de trabalho) você tem o gateway (.113) na mesma sub-rede. Quando você altera a máscara para 0,248 e o último octeto para 0,120, você "empurra" o gateway para fora do intervalo de IP da rede.
A nova configuração é a seguinte:
Nome da rede: x.y.z.120
Intervalo de hosts: x.y.z.121-126
Transmissão: x.y.z.127
Como você pode ver, o gateway .113 não está na mesma sub-rede. Em suma, você não tem mais um gateway padrão válido. Sem um GW, não há como o tráfego de rede encontrar seu caminho além de sua própria sub-rede.
Com as informações fornecidas, parece que você está tentando obter mais endereços públicos do que o ISP fornece. Se você fornecesse um desenho simples do que você tinha em mente, seria muito mais fácil ajudá-lo.
Atualização - novos dados do OP:
Não vai funcionar do jeito que você gosta de tê-lo. O problema é que você está tentando fazer com que duas sub-redes passem pelo mesmo GW sem um roteador e a tecnologia de sub-redes IP simplesmente não funciona dessa maneira. Já na sua postagem editada, você pode ver que .113 está fora do intervalo de IP do roteador B.
Uma opção poderia ser conectar dois roteadores em série:
ISP GW (.113)
Roteador A (intervalo IP: 0,112 - 0,19)
Roteador B (faixa IP: 0,120-0,127)
Isso significa simplesmente que o tráfego do roteador B passa pelo roteador A e para o ISP. Dessa forma, você obtém duas redes separadas no mesmo GW. No entanto, devo perguntar por que você quer duas sub-redes?