Você não precisa configurar um domínio / DNS. Se você atribuir IPs Elásticos, poderá usar o nome DNS Público do Elastic IP, e ele será resolvido para o IP externo se você consultá-lo externamente e resolver para o endereço interno se você consultá-lo de outras instâncias do EC2.
Portanto, se eu tiver um IP elástico de 54.254.54.54, o nome de host público é ec2-54-254-54-54.us-west-2.compute.amazonaws.com. Isso resolverá o IP interno se você consultá-lo internamente.
Você pode CNAME seu próprio hostname (foo.domain.com) para ele, e ele funcionará da mesma maneira.