A maioria dos serviços compartilhados (HostGator é bom com isso) fornece uma maneira temporária de visualizar um domínio. Por isso, configure o servidor antes de transferi-lo usando o URL temporário e verifique se tudo está impecável.
No entanto, se você codificou os caminhos para outras origens, você terá que alterá-los, pois o domínio agora é alterado.
Então, é claro, depois que você migrar e configurar tudo, poderá encaminhar o domínio para a nova conta. Este método não terá tempo de inatividade, no entanto, os usuários podem ser direcionados para diferentes servidores para qualquer coisa editável pelo usuário (fóruns são um bom exemplo), você pode querer desabilitar na caixa antiga como você não quer usuários com servidores DNS muito em cache para servi-los para a conta antiga e aqueles com DNS atualizado para o novo servidor.
Desde que você tenha tudo configurado (especialmente e-mail), você estará bem. Alguns conteúdos podem estar no servidor antigo, como e-mail, mas você terá que falar com seu cliente para verificar o e-mail manualmente (usando as ferramentas do cPanel) na caixa antiga.
Mantenha o servidor antigo ligado por uma semana e dificilmente os usuários perceberão. Mas se for um fórum ou outro site gerado pelo usuário, você pode ter "tempo de inatividade" para os usuários que não têm o DNS atualizado, mas não há absolutamente nada que você possa fazer, exceto ter um TTL baixo para os domínios em seu DNS config ...
Espero que ajude você!