Eu diria que esses computadores não são membros de um domínio do Windows. Você está tentando se conectar aos computadores usando a autenticação do Windows, o que não funcionará, pois não há um repositório de senhas comum, como um domínio do Windows Active Directory.
Para corrigir isso, você precisa criar um login no SQL Server e dar a ele direitos dentro do banco de dados. Para fazer isso, conecte-se ao SQL Server com o Management Studio no console do servidor. Navegue até Segurança > Logins Clique com o botão direito em Logins e selecione "New Login" no menu suspenso. Na nova janela, selecione "Autenticação do SQL Server" em um nome de usuário e senha. Desmarque todas as caixas de seleção. Vá para a página User Mapping (white pain à esquerda) e dê ao login os direitos de que precisa no banco de dados. Em seguida, altere sua string de conexão no aplicativo para o que eu mostro abaixo, substituindo myUsername e myPassword pelo nome de usuário e senha que você especificou quando criou o login.
\SQLEXPRESS;Database=GGDBase;User ID=myUsername;Password=myPassword;Trusted_Connection=False;