Você não quer que nenhum servidor de nome mude você apenas deseja que esses nomes de host apontem para o servidor oposto. Você tem um monte de terminologia "extra" lá, e a maior parte não se aplica à sua situação; confundindo assim o suporte de primeira linha do GoDaddy.
Quem quer que hospede seu DNS, provavelmente o GoDaddy, você precisa alterar os registros A dos seus servidores. Cada servidor provavelmente possui um registro Padrão ( @
) ou um registro www
apontado para o IP relevante (estes são os dois registros do tipo "A"). Você precisa alterar o IP em cada registro para que ele aponte para o outro.
Se você não consegue descobrir como fazer isso; ligue novamente para o suporte e explique-os usando a terminologia do segundo parágrafo desta resposta. Eles vão entender isso.
E-mail é que os servidores são determinados por um tipo de registro "MX", portanto, alterar os registros "A" não alterará o servidor de e-mail.