O ping não é uma ferramenta para testar o DNS. Dito isto, o seu problema não é com o DNS, como seus testes devem estar dizendo a você. Seu servidor DNS pode resolver www.google.com e você pode acessar www.google.com, que deve informar que seu servidor DNS está funcionando. Eu suspeito que um firewall esteja bloqueando o tráfego de ping de saída ou bloqueando as respostas de entrada para seus pings.
Como www.google.com é pingável, suspeito que o problema esteja no seu firewall.
Além disso, não use ping para testar o DNS. Um site externo pode estar disponível, mas pode não permitir solicitações de eco ICMP de entrada (ping), que o enviarão para uma busca desesperada tentando descobrir por que você não pode fazer ping no site.