Para uma situação como esta, se as empresas de hospedagem não fornecerem uma ferramenta para isso, sugiro algo como "getmail" (para recuperar do POP / IMAP). Ele soltará o e-mail em arquivos locais no formato mbox, que são texto simples, ou formato maildir, que também é texto simples, mas um arquivo por mensagem. Eu usei isso para limpar caixas de correio em um servidor, e então eu poderia fechar os arquivos mbox periodicamente para arquivamento.
Você encontrará a fonte do getmail como a primeira correspondência no google para "getmail" e também há uma página da Wikipédia no início dos resultados.
Provavelmente existem aplicativos semelhantes para postar seus e-mails em outro servidor de e-mail, mas parece que você não precisa disso.