Dentro da aplicação é onde você precisa fazer exatamente o que você está querendo, sim.
Demorarei um pouco para recomendar: Primeiro, parece que o site está tendo uso suficiente para precisar de mais conexões de banco de dados, e esse tipo de coisa pode não ser realmente capaz de ser totalmente ajudado. (Eu só posso supor, por exemplo, que o MediaWiki não está escrito de forma que é desnecessariamente usando conexões extras do que o necessário)
Meu pensamento básico aqui é, se possível, tentar dar ao site o que ele precisa para operar. Se isso causar problemas com o servidor MySQL compartilhado, talvez esse gargalo precise ser resolvido. Seja uma espera ou um erro , a falha em conectar-se ao banco de dados atrairá um certo número de usuários do site e, em geral, criará uma experiência negativa para eles.
A solução "fácil" seria alterar a mensagem de erro para ser mais amigável, mas isso pode não resolver os problemas.
Assumindo que você não pode aumentar o limite de 10 conexões, o aplicativo pode precisar ser alterado (e talvez bastante extensivamente) para que cada tentativa de conexão com o banco de dados seja envolvida em código que detecta falhas, aguarda um tempo predeterminado, e tenta novamente um certo número de vezes.
Você pode ter sorte, e o MediaWiki pode ter essa funcionalidade, que pode ser configurada. Alguém mais familiar pode ajudar com isso, se for o caso. Outro (mais provável) ponto de sorte seria se o código de acesso ao banco de dados fosse muito bem contido, e por isso essa solução não seria uma questão de mudar mais de 300 lugares no código para fazer isso (uma perspectiva demorada e agravante , para dizer o mínimo).
Eu só recomendaria essa solução se fosse muito raro que esses erros acontecessem. Se for uma ocorrência regular, pode acabar levando o site a um rastreamento, onde ele está esperando / repetindo as conexões do banco de dados constantemente ... e ainda assim retornando um erro eventualmente, de qualquer forma.