OK, depois de uma AHA! momento, encontrei o problema. Talvez isso beneficie alguém, já que não vi isso em nenhuma parte de todas as minhas pesquisas.
Parece que outro desenvolvedor adicionou um HTTPHandler ao web.config que estava respondendo a todas as solicitações.
Isso evitou que o asp.dll processasse a solicitação de arquivos .asp. Eu ainda estou um pouco perplexo sobre por que o IIS está atingindo o aplicativo ASP.NET antes de processar a extensão ISAPI primeiro.