Quando você diz "não é possível executar ping no DNS1", quer dizer que você receberá "tempo limite de solicitação" ou "A solicitação de ping não pôde encontrar o host dns1. Verifique o nome e tente novamente." ?
Caso seja a mensagem "timeout do pedido", você terá que verificar qualquer firewall em seu laptop ou servidor - mas eu acho que estaria no laptop, já que o outro computador está funcionando bem.
Se o caso for "não pode encontrar o nome do host", você terá que alterar as configurações de DNS do seu laptop para usar DNS1 e DNS2 como servidores DNS.
Eu não sei como o seu servidor DHCP está configurado, mas deve fornecer configurações de DNS corretas automaticamente.
Também pode ser um caso em que você tenha dois ou mais servidores DHCP em sua LAN e o computador e o laptop recebam IP de diferentes servidores DHCP, um com as configurações corretas e o outro com configurações incorretas.
Isso pode acontecer normalmente se o servidor estiver configurado como um servidor DHCP, que fornece as configurações corretas e você tem um roteador com um servidor DHCP ativado, o que gera configurações incorretas.