Use os volumes do docker para armazenar arquivos no sistema host. Por exemplo, você pode executar sua imagem com estas opções:
docker run --name mylamp -v /docker/site:/var/www -p 80:80 me/mylamp:tag
Agora, a sua mylamp
imagem monta o diretório /var/www
interno para o diretório /docker/site
externo, portanto você pode usar SSH / SFTP / FTP para fazer upload de arquivos para /docker/site
no seu sistema host e será visível dentro da imagem do docker no diretório /var/www
.