Se você postar o código que faz o registro, as pessoas poderão ajudar aqui.
Porque, se for use logger, você poderá ter o arquivo conf ou algum nome de aplicativo por meio do parâmetro especificado, basicamente, algum nome que fará o nome diferente para essas várias instâncias.
O próximo passo será etiquetar logger com esta string e encaminhá-la para um canal personalizado como 'local4'. Para testar você pode logar algumas msg chamando o comando logger -p local4.info -t "YourTAG" "Log message"
Para terminar, configure o rsyslog para capturar essas tags em /etc/rsyslog.d/your.conf
:
:syslogtag,contains,"<YourTAG>" -/path/to/name1.log
& stop
:syslogtag,contains,"<AnotherTAG>" -/path/to/name2.log
& stop
.
local4.* -/path/to/some.log # This will catch all tags which would't be mentioned before.
& stop