Se bem me lembro, o rsync irá definir um código de saída diferente de zero se houver erros.
Basta escrever um script de shell simples para executar sua sincronização e coletar stdout e stderr. No final da corrida, verifique o código de saída. Se é zero, correu com sucesso e você pode sair. Se for diferente de zero, envie seu e-mail de erro.