Eu acho que você deve adicionar as regras para a rede privada no POSTROUTING e no FORWARD também, mas deve defini-las antes das demais regras do POSTROUTING.
Além disso, se eu vir corretamente, a primeira regra POSTROUTING sem qualquer especificação de rede de origem corresponderá a todos os seus pacotes, para que a próxima linha nunca seja igual - remova isso.
Então eu acho que suas regras do iptables devem ser assim:
iptables -A INPUT -p udp --dport 9494 -d $SERVER_IP --sport 1024:65535 -m state --state NEW,ESTABLISHED -j ACCEPT
iptables -I FORWARD -i tun0 -j ACCEPT
iptables -I FORWARD -o tun0 -j ACCEPT
iptables -I OUTPUT -o tun0 -j ACCEPT
iptables -A FORWARD -i tun0 -o eth0 -j ACCEPT
iptables -A FORWARD -i tun0 -o eth1 -j ACCEPT
iptables -t nat -A POSTROUTING -s 192.168.2.0/24 -d 192.168.1.0/24 -o eth1 -j MASQUERADE
iptables -t nat -A POSTROUTING -s 192.168.2.0/24 -o eth0 -j MASQUERADE
Talvez você deva colocar alguns registros para verificar se você precisa de reconfiguração ou se perdeu alguma coisa.
Após as regras acima, adicione:
iptables -A FORWARD -j LOG --log-prefix 'iptables-forward: '
iptables -t nat -A POSTROUTING -j LOG --log-prefix 'iptables-postrouting: '