Eu não posso concordar com a sugestão de Manula. Alterar o usuário no qual um daemon é executado, isso é uma mudança muito profunda no sistema e precisa de um motivo strong.
O Jenkins é um aplicativo da web java e, para mim, parece que você está usando uma versão debian / ubuntu ou alguma versão pré-empacotada. Normalmente não é a melhor idéia, os distribuidores não são muito bons no reempacotamento de java (o problema é que o java tem muitas de suas tecnologias de auto-download, auto-refreshing, auto-empacotamento, por exemplo maven e tal, o que interfere com o gerenciamento de pacotes das distros).
Portanto, o Jenkins é um aplicativo da Web Java simples, que é executado em um servidor tomcat. Eu não conheço o seu sistema, mas parece que ele é executado em sua própria instância do tomcat, e tudo estava vindo da sua distro. Nesse caso, deve haver em algum lugar alguns logs de seu servidor de aplicativos real, que você pode encontrar com algum comando lsof bem direcionado.
Mas no seu lugar eu não fiz isso. No seu lugar, eu simplesmente mudei o usuário jenkins de volta, e dei a ele acesso aos repositórios git, com alguns comandos bem coordenados setfacl , chmod e chown também.