Você teria que conceder acesso público a todos os itens no banco de dados referenciado que o gatilho está definido para referência, o que é uma má ideia.
Caso contrário, você precisará conceder acesso ao banco de dados referenciado e a qualquer um dos seus objetos (tabelas, visualizações, procedimentos armazenados, etc.) a qualquer login que precise usar o acionador.
Como alternativa, se o acionador estiver sendo acionado a partir de uma chamada de aplicativo, você poderá criar um login para o aplicativo, configurar as permissões adequadamente em ambos os bancos de dados para esse login e definir o aplicativo como esse usuário. Você, naturalmente, precisa cuidar de outras preocupações de segurança e registro no nível do aplicativo.