Não.
Como seu URL está mudando, seu navegador pára de enviar o cabeçalho Authorization:
, embora o território possa ser o mesmo em HTTP e HTTPS.
Como a autenticação básica envia credenciais de texto simples, a melhor prática é redirecionar todos os usuários que acessam um espaço de URL "protegido" com autenticação básica para HTTPS.