REMOTE_USER não é realmente uma variável de ambiente dentro do Apache, mas é definido pelo Apache ao executar coisas como manipuladores CGI ou PHP.
O valor real é incorporado em uma estrutura dentro do Apache. Veja a documentação do Apache sobre variáveis de ambiente
Talvez você precise ser ENV: como um prefixo.
<Directory />
AuthType basic
AuthUserFile $my_file
require valid-user
RewriteEngine on
RewriteCond %{ENV:REMOTE_USER} (.+)
RequestHeader set X-Forwarded-User %{ENV:REMOTE_USER}e
</Directory>