Substitua a VLAN pela rede e leia isto: Como funciona a sub-rede IPv4?
Resumido:
Você tem uma rede 192.168.0 / 24. Todo o tráfego para essa rede é enviado para ele. Todo o tráfego com um destino diferente é enviado através do gateway 192.168.0.1, que está na rede 192.168.0 / 24 e, portanto, é diretamente acessível.
Agora você adiciona uma segunda rede. 192.168.5 / 24. Todo o tráfego para essa rede específica pode ser enviado para ele. Todo o tráfego com um destino diferente precisa de um gateway que seja acessado diretamente de 192.168.5 / 24. Isso não inclui 192.168.0.1.
How would adding a default gateway to 192.168.5.1 to allow me to get internet access?
Não seria. Você precisará de uma NIC na rede local (192.168.5 / 24) que possa encaminhar pacotes de e para outras redes. Supondo que em todos os lugares em que você escreveu VLAN, você quis dizer 'rede' ou 'LAN', pode fazer isso adicionando um segundo IP e tabelas de roteamento apropriadas ao host que serve atualmente como gateway para a rede 192.168.0 / 24.
No entanto, no momento, sua pergunta requer algumas adivinhações. Você precisará esclarecê-lo ou aprender como funciona a sub-rede e o roteamento.