O DNS só apontará você para o IP / servidor. Então você deve usar o Apache para direcionar para uma pasta diferente. Primeiro, configure o registro CName ou A com a interface da Verizon para DNS. Aponte para o servidor que hospedará o site. Você pode confirmar que ele funciona enviando o nome e obtendo o IP correto de volta.
O próximo passo não está relacionado ao DNS. É relacionado ao Apache. Se você ainda tiver dúvidas sobre isso, inicie uma nova pergunta ou sinalize novamente como uma questão do Apache.